A Variational Inequality for Discontinuous Solutions of Degenerate Parabolic Equations

The Beltrami framework for image processing and analysis introduces a non-linear parabolic problem, called in this context the Beltrami flow. We study in the framework for functions of bounded variation, the well-posedness of the Beltrami flow in the one-dimensional case. We prove existence and uniqueness of the weak solution using lower semi-continuity results for convex functions of measures. The solution is defined via a variational inequality, following Temam’s technique for the evolution problem associated with the minimal surface equation. Una desigualdad variacional para soluciones discontinuas de ecuaciones parabólicas degeneradas Resumen. El contexto de Beltrami para el proceso y análisis de imágenes introduce un problema parabólico no lineal denominado “flujo de Beltrami”. En este artı́culo panorámico mostramos como el flujo de Beltrami unidimensional está bien planteado en el marco de las funciones de variación acotada. Obtenemos la existencia y unicidad de soluciones débiles usando resultados sobre la semicontinuidad inferior para funciones convexas de medidas. Definimos la solución va una inecuacin variacional, siguiendo la técnica de Temam para el problema de evolución asociado a la ecuación de superficies mı́nimas.